Cheat Sheet: Ecuaciones Diferenciales

1. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden

Una EDO es lineal si $y$ y $y{'}$ aparecen con potencia 1 y no hay productos entre ellas (ej. $y \cdot y{'}$ o $\sin(y)$).

Si $P(x)$ y $f(x)$ son continuas en un intervalo $I$ que contiene a $x_0$, existe una única solución definida en $I$.

Forma Estándar:

\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x) \]

Nota: El coeficiente de $\frac{dy}{dx}$ debe ser 1. Si la ecuación es $a(x)y{'} + b(x)y = c(x)$, divide toda la ecuación por $a(x)$ primero.

Factor Integrante

Función que convierte el lado izquierdo en una derivada exacta de producto: $\frac{d}{dx}[\mu(x)y]$.

\[ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} \]

Regla de Oro: NO agregues la constante de integración $+C$ al calcular la integral en el exponente. $\mu(x)$ es un factor específico, no una familia.

Solución General:

$ y(x) = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x)f(x) \, dx + C \right] $

Interpretación: La solución es la suma de la solución homogénea ($\frac{C}{\mu(x)}$) y una solución particular ($\frac{1}{\mu(x)}\int \mu f$).

Algoritmo de Ejecución:

Estandarizar:
- Mover términos para que quede $y{'} + \dots$
- Dividir por el coeficiente de $y{'}$ si no es 1.
- Check: ¿Está $y$ sola en el lado izquierdo?
Identificar:
- Extraer $P(x)$ (lo que multiplica a $y$).
- Extraer $f(x)$ (término independiente de $y$).
Calcular $\mu(x)$:
- Integrar $P(x)$.
- Exponenciar el resultado: $\mu = e^{\int P dx}$.
- Tip: Si la integral da $\ln|x|$, entonces $\mu = e^{\ln|x|} = |x|$. Generalmente se toma $x$ asumiendo dominio positivo.
Multiplicar y Reconocer:
- Multiplica la EDO estándar por $\mu(x)$.
- El lado izquierdo debe convertirse automáticamente en $\frac{d}{dx}[\mu(x)y]$.
- Verificación rápida: Deriva mentalmente $\mu y$; si coincide con el lado izquierdo, el cálculo de $\mu$ es correcto.
Integrar:
- $\mu(x)y = \int \mu(x)f(x) \, dx + C$.
- Realiza la integración del lado derecho (puede requerir integración por partes o sustitución).
Despejar y Condición Inicial:
- Divide todo por $$\mu(x)$$ para aislar $$y$$.
- Sustituye $$x_0, y_0$$ para hallar $$C$$.
- Estrategia: Es mejor hallar $$C$$ después de tener la expresión general completa, no antes de integrar.

Errores Frecuentes a Evitar: * Error de Estandarización: Usar el $$P(x)$$ original cuando el coeficiente de $$y'$$ era 2 o $$x$$. * Error de Constante: Añadir $$+C$$ en $$\int P(x)dx$$ al calcular $$\mu(x)$$. * Error de División: Olvidar dividir el término $$f(x)$$ por el coeficiente original al estandarizar. * Error de Producto: Al multiplicar por $$\mu(x)$$, olvidar multiplicar también a $$f(x)$$.

2. Modelos de Aplicación - Primer Orden

2.1 Mezclas (Tanques)

Principio de Conservación de Masa: $$ \frac{dA}{dt} = R_{\text{entrada}} - R_{\text{salida}} $$

Definiciones: - $$A(t)$$: Cantidad de soluto [masa] - $$V(t)$$: Volumen de solución [volumen] - $$c_{\text{ent}}, c_{\text{sal}}$$: Concentraciones [masa/volumen] - $$r_{\text{ent}}, r_{\text{sal}}$$: Tasas de flujo [volumen/tiempo]

Ecuación: $$ \frac{dA}{dt} = c_{\text{ent}}r_{\text{ent}} - \frac{A(t)}{V(t)}r_{\text{sal}} $$

Volumen: - Constante: $$V(t) = V_0$$ (si $$r_{\text{ent}} = r_{\text{sal}}$$) - Variable: $$V(t) = V_0 + (r_{\text{ent}} - r_{\text{sal}})t$$

2.2 Circuitos Eléctricos

Ley de Kirchhoff de Voltajes: $$ \sum V_{\text{caída}} = E(t) $$

Circuito RL (Inductor-Resistencia)

EDO: $$ L\frac{di}{dt} + Ri = E(t) $$ Forma Estándar: $$ \frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = \frac{E(t)}{L} $$ Constante de Tiempo: $$\tau = \frac{L}{R}$$

Circuito RC (Resistencia-Capacitor)

EDO: $$ R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = E(t) $$ Forma Estándar: $$ \frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}q = \frac{E(t)}{R} $$ Relación: $$i(t) = \frac{dq}{dt}$$ Constante de Tiempo: $$\tau = RC$$

3. Sistema Masa-Resorte (Ecuaciones Lineales de Segundo Orden)

Ley de Newton + Ley de Hooke: $$ m\frac{d^2x}{dt^2} + \beta\frac{dx}{dt} + kx = F(t) $$

Parámetros: - $$m$$: Masa [kg] - $$\beta$$: Coeficiente de amortiguamiento [N·s/m] - $$k$$: Constante elástica [N/m] - $$F(t)$$: Fuerza externa [N] - $$x(t)$$: Desplazamiento desde equilibrio [m]

Ecuación Característica (caso homogéneo $$F(t)=0$$): $$ mr^2 + \beta r + k = 0 $$ $$ r = \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4mk}}{2m} $$

Clasificación de Soluciones:

Tipo	Condición	Raíces	Solución $$x(t)$$
Subamortiguado	$$\beta^2 < 4mk$$	$$-\lambda \pm i\omega$$	$$e^{-\lambda t}(c_1\cos\omega t + c_2\sin\omega t)$$
Críticamente amortiguado	$$\beta^2 = 4mk$$	$$r_1 = r_2 = -\lambda$$	$$(c_1 + c_2 t)e^{-\lambda t}$$
Sobreamortiguado	$$\beta^2 > 4mk$$	$$r_1 \neq r_2$$ (reales)	$$c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$$

Frecuencias: - Natural: $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$$ - Amortiguada: $$\omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \left(\frac{\beta}{2m}\right)^2}$$

4. Transformada de Laplace

Definición: $$ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt, \quad s > \alpha $$

4.1 Propiedades de Derivadas

\[ \mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0) $$ $$ \mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0) $$ $$ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \dots - f^{(n-1)}(0) \]

4.2 Tabla de Transformadas

$$f(t)$$	$$F(s)$$
$$1$$	$$\frac{1}{s}$$
$$t^n$$	$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
$$e^{at}$$	$$\frac{1}{s-a}$$
$$\sin(kt)$$	$$\frac{k}{s^2+k^2}$$
$$\cos(kt)$$	$$\frac{s}{s^2+k^2}$$
$$e^{at}\sin(kt)$$	$$\frac{k}{(s-a)^2+k^2}$$
$$e^{at}\cos(kt)$$	$$\frac{s-a}{(s-a)^2+k^2}$$
$$u(t-a)$$	$$\frac{e^{-as}}{s}$$
$$\delta(t-a)$$	$$e^{-as}$$

4.3 Teoremas de Desplazamiento

Teorema del Desplazamiento en $$s$$ (Primero): $$ \mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s-a) $$

Teorema del Desplazamiento en $$t$$ (Segundo): $$ \mathcal{L}{u(t-a)f(t-a)} = e^{-as}F(s) $$ $$ \mathcal{L}^{-1}{e^{-as}F(s)} = u(t-a)f(t-a) $$

4.4 Algoritmo de Resolución con Laplace

Aplicar $$\mathcal{L}$$ a toda la EDO
Sustituir condiciones iniciales $$x(0), x'(0)$$
Despejar $$X(s)$$ algebraicamente
Descomponer en fracciones parciales
Aplicar $$\mathcal{L}^{-1}$$ término a término

5. Matriz de Decisión

Problema	Tipo EDO	Método
Mezclas	1er orden lineal	Factor Integrante
Circuito RC/RL	1er orden lineal	Factor Integrante
Masa-Resorte (homogéneo)	2do orden homogéneo	Ecuación Característica
Masa-Resorte (no homogéneo)	2do orden no homogéneo	Laplace o Coeficientes Indeterminados
Fuerza externa discontinua	Cualquier orden	Laplace
Condiciones iniciales dadas	Cualquier orden	Laplace (integra IC directamente)

6. Errores Comunes

Factor Integrante: No añadir $$C$$ en $$\int P(x)dx$$ para $$\mu(x)$$
Unidades: Verificar consistencia (kg, m, s, N, V, A)
Volumen variable: Usar $$V(t)$$ en vez de $$V_0$$ en $$R_{\text{salida}}$$
Laplace inversa con $$e^{-as}$$: Recordar incluir $$u(t-a)$$ en resultado
Signos en masa-resorte: Fuerza restauradora es $$-kx$$, amortiguamiento es $$-\beta x'$$
Condiciones iniciales en Laplace: Sustituir inmediatamente después de transformar

Tipo	Condición	Raíces	Solución $\(x(t)\)$
Subamortiguado	$\(\beta^2 < 4mk\)$	$\(-\lambda \pm i\omega\)$	$\(e^{-\lambda t}(c_1\cos\omega t + c_2\sin\omega t)\)$
Críticamente amortiguado	$\(\beta^2 = 4mk\)$	$\(r_1 = r_2 = -\lambda\)$	$\((c_1 + c_2 t)e^{-\lambda t}\)$
Sobreamortiguado	$\(\beta^2 > 4mk\)$	$\(r_1 \neq r_2\)$ (reales)	$\(c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}\)$

$\(f(t)\)$	$\(F(s)\)$
$\(1\)$	$\(\frac{1}{s}\)$
$\(t^n\)$	$\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)$
$\(e^{at}\)$	$\(\frac{1}{s-a}\)$
$\(\sin(kt)\)$	$\(\frac{k}{s^2+k^2}\)$
$\(\cos(kt)\)$	$\(\frac{s}{s^2+k^2}\)$
$\(e^{at}\sin(kt)\)$	$\(\frac{k}{(s-a)^2+k^2}\)$
$\(e^{at}\cos(kt)\)$	$\(\frac{s-a}{(s-a)^2+k^2}\)$
$\(u(t-a)\)$	$\(\frac{e^{-as}}{s}\)$
$\(\delta(t-a)\)$	$\(e^{-as}\)$