Examen de Cálculo Integral Versión B

Instrucciones: Resuelve cada problema de manera clara y concisa, mostrando todos tus pasos de resolución. Simplifica tus respuestas finales. Para cada problema, identifica la técnica principal o el concepto que se requiere.

Sección I: Sustitución Trigonométrica

1. Evalúa la integral:

\[ \int \frac{1}{(9-x^2)^{3/2}} dx \]

2. Calcula la integral indefinida:

\[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} dx \]

3. Encuentra la antiderivada de:

\[ \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} dx \]

Sección II: Fracciones Parciales

4. Resuelve la siguiente integral:

\[ \int \frac{5x-3}{x^2-2x-3} dx \]

5. Calcula la integral:

\[ \int \frac{x+1}{x^2(x-1)} dx \]

Sección III: Potencias Trigonométricas

6. Evalúa la integral:

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx \]

7. Calcula la integral:

\[ \int \cos^4(x) dx \]

8. Encuentra la antiderivada de:

\[ \int \tan^3(x) \sec^4(x) dx \]

9. Resuelve la famosa integral de la secante cúbica:

\[ \int \sec^3(x) dx \]

10. Evalúa la integral:

\[ \int \tan^4(x) dx \]

Sección IV: Integrales de Funciones Trascendentales

11. Calcula la integral (por partes): $$ \int x e^{2x} dx $$

12. Calcula la integral del logaritmo natural: $$ \int \ln(x) dx $$

13. Evalúa la integral completando el cuadrado: $$ \int \frac{1}{x^2+6x+13} dx $$

14. Resuelve la integral:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}} \]

Sección V: Aplicaciones - Volumen de Sólidos de Revolución

15. Calcula el volumen del sólido generado al rotar la región delimitada por $y=\sqrt{x}$, $x=4$ y el eje $x$, alrededor del eje x.

16. Encuentra el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por $y=x^3$, $y=8$ y $x=0$, alrededor del eje y.

17. Calcula el volumen del sólido obtenido al girar la región entre $y=x$ y $y=x^2$ alrededor del eje x.

18. Calcula el volumen del sólido generado al rotar la misma región del problema anterior ($y=x$ y $y=x^2$) alrededor de la recta y = 2.

19. Usa el método de capas cilíndricas para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región delimitada por $y=e^{-x^2}$, $y=0$, $x=0$ y $x=1$ alrededor del eje y.

20. Usa el método de capas para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región delimitada por $x=y^2$, $x=0$ y $y=1$ alrededor del eje x.

Sección VI: Ejercicios

Ejercicio 1: Integral por Partes y Fracciones Parciales (Combinación Común)

Este problema es excelente para evaluar tu habilidad para combinar dos técnicas de integración fundamentales que a menudo aparecen juntas.

Problema: Evalúa la siguiente integral indefinida:

\[\int x \arctan(x) dx\]

Pista: Inicia con integración por partes, eligiendo $u = \arctan(x)$. La integral resultante requerirá una división polinómica o una manipulación algebraica antes de usar fracciones parciales, o simplemente recordar la integral de $\frac{x^2}{1+x^2}$.

Ejercicio 2: Volumen de Sólido de Revolución (Método de Discos/Arandelas)

Un clásico problema de volumen que te pide visualizar la región y aplicar el método adecuado, ya sea discos o arandelas.

Problema: Calcula el volumen del sólido que se genera al rotar la región acotada por las curvas $y = x^2$ y $y = 2x$ alrededor del eje $x$.

Pista: Primero, encuentra los puntos de intersección de las dos curvas para definir los límites de integración. Dibuja la región para determinar qué función es la superior y cuál la inferior en el intervalo relevante. Usa el método de arandelas.

Ejercicio 3: Integral Impropia con Singularidad en el Límite

Este ejercicio se enfoca en las integrales impropias con una singularidad en uno de los límites, un tipo de problema muy común para evaluar la comprensión de los límites.

Problema: Determina si la siguiente integral impropia converge o diverge. Si converge, calcula su valor:

\[\int_0^1 \frac{e^x}{\sqrt{e^x - 1}} dx\]

Pista: La integral es impropia en $x=0$. Para evaluarla, usa una sustitución simple que te ayude a manejar el término $\sqrt{e^x - 1}$.

Ejercicio 4: Aplicación Física (Centro de Masa - Centros de Gravedad)

Este problema es una aplicación directa de la integral para encontrar el centro de masa de una región plana, un tema fundamental en física e ingeniería.

Problema: Una lámina delgada tiene la forma de la región acotada por la gráfica de $y = x^2$ y la recta $y = 4$. Encuentra las coordenadas $(\bar{x}, \bar{y})$ del centro de masa (centroide) de la lámina.

Pista: Recuerda las fórmulas del centroide. Ten en cuenta que la región está acotada por una curva y una línea horizontal. La integral para el área y las coordenadas del centroide se adaptarán a estas funciones.

Ejercicio 5: Longitud de Arco de una Función Trigonométrica

Un ejercicio estándar de longitud de arco que requiere derivar, simplificar una expresión bajo la raíz cuadrada y luego integrar.

Problema: Encuentra la longitud exacta de la curva $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (conocida como coseno hiperbólico, $\cosh(x)$) desde $x = 0$ hasta $x = \ln(2)$.

Pista: La derivada de $\cosh(x)$ es $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. Recuerda la identidad $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, o simplemente expande la expresión $(e^x+e^{-x})/2$ y trabaja con ella.

Respuestas

\[ \frac{x}{9\sqrt{9-x^2}} + C \]

\[ \ln|x + \sqrt{x^2+4}| + C \]

\[ \sqrt{x^2-1} - \text{arcsec}(x) + C \]

\[ 3\ln|x-3| + 2\ln|x+1| + C \]

\[ -2\ln|x| - \frac{1}{x} + 2\ln|x-1| + C \]

\[ \frac{\cos^5(x)}{5} - \frac{\cos^3(x)}{3} + C \]

\[ \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C \]

\[ \frac{\tan^4(x)}{4} + \frac{\tan^6(x)}{6} + C \]

\[ \frac{1}{2}(\sec(x)\tan(x) + \ln|\sec(x)+\tan(x)|) + C \]

\[ \frac{\tan^3(x)}{3} - \tan(x) + x + C \]

\[ \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C \]

\[ x\ln(x) - x + C \]

\[ \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right) + C \]

\[ \frac{1}{2}\arcsin(2x) + C \]

\[ 8\pi \text{ u}^3 \]

\[ \frac{96\pi}{5} \text{ u}^3 \]

\[ \frac{2\pi}{15} \text{ u}^3 \]

\[ \frac{8\pi}{15} \text{ u}^3 \]

\[ \pi\left(1 - \frac{1}{e}\right) \text{ u}^3 \]

\[ \frac{\pi}{2} \text{ u}^3 \]

Respuestas a los Ejercicios

Ejercicio 1: Integral por Partes y Fracciones Parciales La integral de $\int x \arctan(x) dx$ es:

\[\frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \arctan(x) + C\]

O, de forma factorizada:

\[\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan(x) - \frac{1}{2}x + C\]
Ejercicio 2: Volumen de Sólido de Revolución (Método de Discos/Arandelas) El volumen del sólido generado al rotar la región acotada por $y = x^2$ y $y = 2x$ alrededor del eje $x$ es:

\[V = \frac{64\pi}{15} \text{ unidades cúbicas}\]
Ejercicio 3: Integral Impropia con Singularidad en el Límite La integral impropia $\int_0^1 \frac{e^x}{\sqrt{e^x - 1}} dx$ converge, y su valor es:

\[2\sqrt{e-1}\]
Ejercicio 4: Aplicación Física (Centro de Masa - Centros de Gravedad) Las coordenadas $(\bar{x}, \bar{y})$ del centro de masa (centroide) de la lámina acotada por $y = x^2$ y $y = 4$ son:

\[(\bar{x}, \bar{y}) = \left(0, \frac{12}{5}\right)\]
Ejercicio 5: Longitud de Arco de una Función Trigonométrica La longitud exacta de la curva $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ desde $x = 0$ hasta $x = \ln(2)$ es:

\[L = \frac{3}{4}\]