Examen de Cálculo Integral Versión A

Instrucciones: Resuelve cada problema de manera clara y concisa, mostrando todos tus pasos de resolución. Simplifica tus respuestas finales. Para cada problema, identifica la técnica principal o el concepto que se requiere.

Sección I: Fundamentos y Reglas Básicas

Antiderivada Directa de Polinomios. Cuando te enfrentas a una función polinomial, recuerda las reglas de integración para potencias y la propiedad de linealidad de la integral.

\[ \int (4x^3 - 6x^2 + 2x - 5) dx \]
Antiderivada de Funciones Exponenciales. La función exponencial \(e^u\) es única; su integral es ella misma, con una simple regla de cadena inversa para el exponente.

\[ \int 7e^{-2x} dx \]
Antiderivada de Funciones Trigonométricas Básicas. Memoriza las integrales de las funciones trigonométricas fundamentales. Si hay un factor constante multiplicando la variable dentro de la función trigonométrica, ajusta la constante fuera de la integral.

\[ \int (\cos(3x) - \sin(x/2)) dx \]
Sustitución Simple (u-sustitución) con Potencias. Busca una parte del integrando cuya derivada esté también presente (o una constante multiplicada por ella). Esto transforma la integral en una forma más sencilla de potencia.

\[ \int x^2 (x^3 + 5)^4 dx \]
Sustitución Simple (u-sustitución) con Funciones Exponenciales/Logarítmicas. Si ves una función exponencial o logarítmica, considera sustituir su argumento o la función misma. La clave es que la derivada de tu elección de \(u\) simplifique el resto del integrando.

\[ \int \frac{\ln(x)}{x} dx \]
Sustitución Simple (u-sustitución) con Radicales. Para expresiones con raíces, a menudo es útil sustituir la expresión dentro del radical o el radical completo para linealizar el integrando.

\[ \int x \sqrt{x^2 + 7} dx \]
Sumatoria de una Serie Aritmética. Identifica la estructura de la serie. Si es una progresión aritmética, puedes usar las propiedades de la sumatoria o la fórmula de la suma de los primeros \(n\) enteros.

\[ \text{Calcular la suma: } \sum_{k=1}^{100} (2k - 1) \]
Propiedades de Sumatorias. Recuerda cómo la sumatoria distribuye sobre la suma y la resta, y cómo las constantes se pueden factorizar.

\[ \text{Calcular la suma: } \sum_{i=1}^{n} (i^2 - 3i + 2) \quad \text{en términos de } n \]

Sección II: La Integral Definida y Áreas

Aproximación por Sumas de Riemann (Punto Medio). Para estimar el área bajo una curva sin integrar, divide el intervalo en subintervalos y usa los puntos medios de estos para evaluar la altura de los rectángulos.

\[ \text{Aproxime el área bajo la curva } f(x) = x^2 + 1 \text{ en el intervalo } [0, 4] \text{ usando 4 subintervalos y el punto medio.} \]
Evaluación de Integral Definida (Teorema Fundamental del Cálculo). La integral definida se evalúa encontrando una antiderivada y restando sus valores en los límites superior e inferior de integración.

\[ \int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 1) dx \]
Aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo (Parte I). Si tienes una integral con límites de integración que son funciones de \(x\), el Teorema Fundamental del Cálculo (Parte I) te permite encontrar la derivada de la integral.

\[ \frac{d}{dx} \int_{x^2}^{5x} \cos(t^2) dt \]
Área bajo la Curva. El área de una región acotada por una función continua no negativa y el eje \(x\) en un intervalo se calcula directamente mediante la integral definida de la función.

\[ \text{Encuentra el área de la región acotada por } y = x^3 - x \text{ y el eje } x \text{ en el intervalo } [-1, 1]. \]
Área entre Dos Curvas (Intersecciones Dadas). Para hallar el área entre dos curvas, identifica cuál función es "superior" en el intervalo y resta la función "inferior", integrando el resultado entre los puntos de intersección.

\[ \text{Encuentra el área de la región encerrada por } y = \sqrt{x} \text{ y } y = x. \]
Área entre Dos Curvas (Necesidad de Hallar Intersecciones). Si los límites de integración no están dados, iguala las funciones para encontrar sus puntos de intersección y determinar los límites apropiados.

\[ \text{Calcula el área de la región acotada por las curvas } y = x^2 \text{ y } y = -x^2 + 4x. \]
Valor Promedio de una Función. El valor promedio de una función sobre un intervalo se calcula dividiendo la integral definida de la función sobre ese intervalo entre la longitud del intervalo.

\[ \text{Encuentra el valor promedio de la función } f(x) = \sin(x) \text{ en el intervalo } [0, \pi]. \]
Integrales Impropia Tipo I (Límite Infinito). Si uno o ambos límites de integración son infinitos, la integral se define como un límite de una integral definida.

\[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx \]

Sección III: Técnicas de Integración I

Integración por Partes (Producto Polinomio-Exponencial). Cuando tienes un producto de un polinomio y una exponencial (o trigonométrica), la elección de \(u\) como el polinomio simplifica la integral.

\[ \int x e^{4x} dx \]
Integración por Partes (Producto Polinomio-Logaritmo/Inversa Trig.). Si un logaritmo o una función trigonométrica inversa están involucrados, suelen ser la elección para \(u\) debido a que sus derivadas son algebraicas.

\[ \int x \ln(x) dx \]
Integración por Partes (Función Única Trascendental). A veces, la integración por partes se aplica a una sola función trascendental, asumiendo \(dv = dx\).

\[ \int \ln(x^2+1) dx \]
Sustitución Trigonométrica (\(\sqrt{a^2-x^2}\)). La presencia de \(\sqrt{a^2-x^2}\) en el integrando sugiere una sustitución \(x = a \sin \theta\) para eliminar el radical usando la identidad pitagórica.

\[ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx \]
Sustitución Trigonométrica (\(\sqrt{x^2+a^2}\)). Para \(\sqrt{x^2+a^2}\), una sustitución \(x = a \tan \theta\) es ideal, ya que \(1+\tan^2\theta = \sec^2\theta\) simplifica el radical.

\[ \int \frac{1}{(x^2+25)^{3/2}} dx \]
Sustitución Trigonométrica (\(\sqrt{x^2-a^2}\)). Con \(\sqrt{x^2-a^2}\), la sustitución \(x = a \sec \theta\) es apropiada, usando \(\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta\).

\[ \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}} \]
Integración por Partes Cíclica. Ciertas combinaciones de funciones (como exponenciales y trigonométricas) requieren dos aplicaciones de integración por partes y luego despejar la integral original.

\[ \int e^{x} \sin(x) dx \]
Combinación de Técnicas (Sustitución y Partes). A veces, una sustitución inicial puede simplificar la integral a una forma que luego requiere integración por partes.

\[ \int e^{\sqrt{x}} dx \]
Integración por Partes (Polinomio y Trigonométrica, repetido). Cuando el polinomio tiene un grado alto, la integración por partes puede necesitar aplicarse varias veces.

\[ \int x^3 \cos(x) dx \]
Fracciones Parciales (Denominadores con Factores Lineales Distintos). Si el denominador es un producto de factores lineales no repetidos, la descomposición es una suma de términos \(\frac{A}{ax+b}\).

\[ \int \frac{x+1}{x^2-4x+3} dx \]
Fracciones Parciales (Denominadores con Factores Lineales Repetidos). Para factores lineales repetidos como \((ax+b)^n\), la descomposición incluye un término para cada potencia hasta \(n\).

\[ \int \frac{3x+2}{(x-1)^2(x+2)} dx \]
Fracciones Parciales (Denominadores con Factores Cuadráticos Irreducibles). Factores cuadráticos que no pueden descomponerse en los reales tienen un término de la forma \(\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\).

\[ \int \frac{x+1}{x^3+x} dx \]

Sección IV: Técnicas de Integración II

Fracciones Parciales (Combinación de Factores). Este problema requiere identificar y aplicar las reglas de descomposición para una mezcla de factores lineales (distintos y repetidos) y cuadráticos irreducibles.

\[ \int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2(x^2+4)} dx \]
Integración de Potencias Impares de Seno y Coseno. Si al menos una potencia de seno o coseno es impar, separa un factor (seno o coseno) y convierte los términos restantes usando \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

\[ \int \sin^5(x) \cos^2(x) dx \]
Integración de Potencias Pares de Seno y Coseno. Cuando todas las potencias son pares, utiliza las identidades de ángulo medio (\(\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}\), \(\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}\)) para reducir las potencias.

\[ \int \cos^4(x) dx \]
Integración de Potencias de Tangente y Secante (Caso con Secante Par). Si la potencia de \(\sec x\) es par, separa un \(\sec^2 x\) y convierte el resto a \(\tan x\) usando \(\sec^2 x = 1+\tan^2 x\), luego \(u=\tan x\).

\[ \int \tan^3(x) \sec^4(x) dx \]
Integración de Potencias de Tangente y Secante (Caso con Tangente Impar). Si la potencia de \(\tan x\) es impar, separa un \(\sec x \tan x\) y convierte el resto a \(\sec x\) usando \(\tan^2 x = \sec^2 x - 1\), luego \(u=\sec x\).

\[ \int \tan^5(x) \sec^3(x) dx \]
Completar el Cuadrado y Sustitución Trigonométrica/Inversa. Si tienes un trinomio cuadrático en el denominador o bajo un radical que no factoriza, completa el cuadrado para transformarlo en una forma de \(u^2 \pm a^2\) o \(a^2-u^2\), y luego aplica la sustitución trigonométrica o una fórmula de integración directa.

\[ \int \frac{1}{x^2+2x+5} dx \]
Integral con Fracciones Parciales después de Sustitución Trigonométrica. A veces, el resultado de una sustitución trigonométrica se convierte en una función racional de senos y cosenos (o tangentes) que luego requiere fracciones parciales.

\[ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2+4}} \]
Integral con Fracciones Parciales después de Sustitución Simple. Una sustitución inicial simple (como \(u=e^x\)) puede transformar la integral en una función racional de \(u\), que luego se resuelve por fracciones parciales.

\[ \int \frac{e^x}{e^{2x} - 1} dx \]
Integrales Impropia Tipo II (Discontinuidad Infinita). Si el integrando tiene una discontinuidad infinita dentro del intervalo de integración o en sus límites, se define como un límite de una integral definida.

\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx \]
Integrales Impropia (Convergencia/Divergencia). Determinar si una integral impropia converge o diverge, y si es el caso, calcular su valor. Esto a menudo implica evaluar límites.

\[ \int_{1}^{\infty} \frac{\ln(x)}{x} dx \]

Sección V: Aplicaciones del Cálculo Integral

Volumen de Sólidos de Revolución (Método de Discos). Para una región girada alrededor del eje \(x\) o \(y\), y las "rebanadas" son discos perpendiculares al eje de rotación.

\[ \text{Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región acotada por } y = x^2, x=0, x=2, \text{ y } y=0 \text{ alrededor del eje } x. \]
Volumen de Sólidos de Revolución (Método de Arandelas). Cuando la región no toca completamente el eje de rotación, se forman "arandelas" con un agujero en el centro.

\[ \text{Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región acotada por } y = x^2 \text{ y } y = x text{ alrededor del eje } x. \]
Volumen de Sólidos de Revolución (Método de Cascarones Cilíndricos). Si las "rebanadas" son paralelas al eje de rotación, este método suele ser más simple, especialmente si la integración se realiza con respecto a la variable opuesta al eje de rotación.

\[ \text{Encuentra el volumen del sólido generado al girar la región acotada por } y = x - x^2 \text{ y el eje } x \text{ alrededor del eje } y. \]
Longitud de Arco (Función explícita en x). Calcula la longitud de una curva suave utilizando la integral de la raíz cuadrada de \(1 + (dy/dx)^2\).

\[ \text{Encuentra la longitud de arco de la curva } y = \frac{2}{3}x^{3/2} \text{ desde } x=0 \text{ hasta } x=3. \]
Área de Superficie de Revolución. Calcula el área de la superficie generada al girar una curva alrededor de un eje, utilizando una fórmula que involucra la longitud de arco y el radio de rotación.

\[ \text{Encuentra el área de la superficie generada al girar la curva } y = \sqrt{x} \text{ desde } x=1 \text{ hasta } x=4 \text{ alrededor del eje } x. \]
Centro de Masa (Placa Homogénea). Para una placa plana homogénea, el centro de masa se calcula usando integrales para los momentos y el área total.

\[ \text{Encuentra el centro de masa de la región acotada por } y = x^2 \text{ y } y = 4. \]
Trabajo Realizado (Fuerza Variable). Si la fuerza varía con la distancia, el trabajo realizado es la integral de la función de fuerza con respecto a la distancia.

\[ \text{Una fuerza de } F(x) = (3x^2 + 2x) \text{ N mueve un objeto a lo largo del eje } x \text{ desde } x=1 \text{ m hasta } x=4 \text{ m. Calcula el trabajo realizado.} \]
Trabajo Realizado (Bombeo de Líquidos). Problemas de bombeo de líquidos requieren considerar el trabajo para mover cada "capa" de líquido a una altura específica, integrando sobre el volumen.

\[ \text{Un tanque cilíndrico de 10 m de radio y 15 m de altura está lleno de agua. Calcula el trabajo necesario para bombear toda el agua hasta el borde superior del tanque. (Densidad del agua } \rho = 1000 \text{ kg/m}^3, g = 9.8 \text{ m/s}^2\text{)} \]
Presión y Fuerza Fluida. La fuerza debida a la presión fluida sobre una superficie sumergida se calcula integrando la presión (densidad \(\times\) gravedad \(\times\) profundidad) sobre el área de la superficie.

\[ \text{Una placa rectangular de 2 m de ancho y 3 m de alto está sumergida verticalmente en agua con su borde superior a 1 m por debajo de la superficie. Encuentra la fuerza total de la presión fluida sobre un lado de la placa.} \]
Cálculo de la Probabilidad (Función de Densidad de Probabilidad). Si tienes una función de densidad de probabilidad, la probabilidad de un evento en un intervalo es la integral de la función sobre ese intervalo.

\[ \text{Una variable aleatoria continua } X \text{ tiene una función de densidad de probabilidad } f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x & 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}. \text{Encuentra } P(0 \leq X \leq 1). \]

Sección VI: Integrales Especiales (Sustitución Universal)

Integral de Función Racional de Seno y Coseno (Caso Común). La presencia de \(\sin x\) y \(\cos x\) en una fracción racional, sin raíces o potencias especiales, indica fuertemente el uso de la sustitución \(t = \tan(x/2)\) para transformar la integral.

\[ \int \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} dx \]
Integral de Función Racional de Seno y Coseno (Caso con Constantes y Factores). Una combinación de constantes y funciones trigonométricas en una fracción racional es otra señal clara para aplicar la sustitución de Weierstrass, lo que resultará en una integral de una función racional de \(t\) que se resolverá con fracciones parciales.

\[ \int \frac{dx}{2 - \sin x + \cos x} \]