Formulario de Cálculo Integral
Área entre Curvas
\[A = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx\]
- f(x) ≥ g(x) en [a,b]:
\[A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx\]
- Cruces: Dividir en subintervalos
Volúmenes de Sólidos de Revolución
Método Disco/Arandela
Eje horizontal (y=k): Radio: \(R = |\text{función} - k|\)
Disco:
\[V = \pi\int_a^b [R(x)]^2dx\]
Arandela:
\[V = \pi\int_a^b \left([R_{ext}]^2 - [R_{int}]^2\right)dx\]
Eje vertical (x=h): Radio: \(R = |\text{función} - h|\)
Disco:
\[V = \pi\int_c^d [R(y)]^2dy\]
Arandela:
\[V = \pi\int_c^d \left([R_{ext}]^2 - [R_{int}]^2\right)dy\]
Método Capas Cilíndricas
Eje vertical (x=h): Radio: \(r = |x - h|\)
Altura: \(h(x) = f(x) - g(x)\)
\[V = 2\pi\int_a^b r \cdot h(x)dx\]
Eje horizontal (y=k): Radio: \(r = |y - k|\)
Altura: \(h(y) = f(y) - g(y)\)
\[V = 2\pi\int_c^d r \cdot h(y)dy\]
Centro de Gravedad (Densidad Uniforme)
Área:
\[A = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx\]
Coordenadas:
\[\bar{x} = \frac{1}{A}\int_a^b x[f(x) - g(x)]dx\]
\[\bar{y} = \frac{1}{A}\int_a^b \frac{1}{2}[f(x)^2 - g(x)^2]dx\]
Longitud de Arco
y = f(x):
\[L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}dx\]
x = g(y):
\[L = \int_c^d \sqrt{1 + [g'(y)]^2}dy\]
Selección de método: - Disco: Región toca eje de rotación - Arandela: Región no toca eje (hueco) - Capas: Rotación alrededor de eje externo