3. POLINOMIOS

3.1 Definición y Terminología

Un polinomio en la variable \(x\) es una expresión algebraica de la forma:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \]

donde: - \(n\) es un número entero no negativo (grado del polinomio) - \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) son números reales (coeficientes) - \(a_n \neq 0\) (coeficiente principal) - \(a_0\) es el término constante

Términos clave: - Grado: El mayor exponente de \(x\) con coeficiente no nulo, denotado \(\deg(P)\) - Monomio: Polinomio con un solo término (ej: \(3x^2\)) - Binomio: Polinomio con dos términos (ej: \(x^2 - 4\)) - Trinomio: Polinomio con tres términos (ej: \(x^2 + 3x + 2\)) - Polinomio mónico: Cuando \(a_n = 1\)

3.2 Operaciones Básicas

3.2.1 Suma y Resta

Para sumar o restar polinomios, se combinan términos semejantes (mismo grado).

Ejemplo:

\[ (3x^3 - 2x^2 + 5) + (2x^3 + 4x - 1) = 5x^3 - 2x^2 + 4x + 4 \]

3.2.2 Multiplicación - Métodos Sistemáticos

Método 1: Propiedad distributiva extendida Multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo.

Método 2: Método FOIL (para binomios) - First: Multiplicar primeros términos - Outer: Multiplicar términos externos
- Inner: Multiplicar términos internos - Last: Multiplicar últimos términos

Ejemplo: \((2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12\)

Método 3: Método tabular o de caja Útil para polinomios con más términos. Crear una tabla donde las filas representan los términos de un polinomio y las columnas los del otro.

Fórmula general de multiplicación:

\[ P(x) \cdot Q(x) = \sum_{k=0}^{n+m} \left( \sum_{i+j=k} a_i b_j \right) x^k \]

donde \(\deg(P) = n\), \(\deg(Q) = m\), y \(a_i\), \(b_j\) son coeficientes.

3.3 División de Polinomios

3.3.1 Conceptos Fundamentales

División de polinomios: Dados dos polinomios \(P(x)\) (dividendo) y \(D(x)\) (divisor) con \(D(x) \neq 0\), existen polinomios únicos \(Q(x)\) (cociente) y \(R(x)\) (residuo) tales que:

\[ P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x) \]

con \(\deg(R) < \deg(D)\) o \(R(x) = 0\).

Condición inicial: \(\deg(P) \geq \deg(D)\)

3.3.2 División Larga - Algoritmo Paso a Paso

Algoritmo Detallado (10 pasos):

PASO 1: Ordenar tanto dividendo como divisor en potencias descendentes de \(x\). Incluir términos con coeficiente 0 para potencias faltantes.

PASO 2: Escribir la división en formato estándar:

         __________________________
D(x) | P(x)

PASO 3: Dividir el primer término de \(P(x)\) entre el primer término de \(D(x)\). Este es el primer término del cociente.

PASO 4: Multiplicar el divisor completo por este término del cociente.

PASO 5: Escribir el resultado debajo del dividendo, alineando términos semejantes.

PASO 6: Restar este producto del dividendo (cambiar signos y sumar).

PASO 7: Bajar el siguiente término del dividendo original.

PASO 8: Repetir los pasos 3-7 usando el nuevo polinomio como dividendo.

PASO 9: Continuar hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

PASO 10: Expresar el resultado como: \(\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\)

Ejemplo Completo Paso a Paso:

Dividir \(P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 3\) entre \(D(x) = x^2 - 2x + 1\)

Solución detallada:

1. Configurar división:

             __________________________
   x²-2x+1 | 2x⁴ - 3x³ + 5x² - x + 3
   

2. Primer término: \(2x^4 ÷ x^2 = 2x^2\) Cociente parcial: \(2x^2\)

3. Multiplicar: \(2x^2(x^2 - 2x + 1) = 2x^4 - 4x^3 + 2x^2\)

             2x²
             __________________________
   x²-2x+1 | 2x⁴ - 3x³ + 5x² - x + 3
             2x⁴ - 4x³ + 2x²
   

4. Restar: \((2x^4 - 3x^3 + 5x^2) - (2x^4 - 4x^3 + 2x^2) = x^3 + 3x^2\) Bajar \(-x\):

             2x²
             __________________________
   x²-2x+1 | 2x⁴ - 3x³ + 5x² - x + 3
             2x⁴ - 4x³ + 2x²
             __________________________
                   x³ + 3x² - x
   

5. Repetir: \(x^3 ÷ x^2 = x\) Cociente: \(2x^2 + x\) Multiplicar: \(x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x\) Restar: \((x^3 + 3x^2 - x) - (x^3 - 2x^2 + x) = 5x^2 - 2x\) Bajar \(+3\):

             2x² + x
             __________________________
   x²-2x+1 | 2x⁴ - 3x³ + 5x² - x + 3
             2x⁴ - 4x³ + 2x²
             __________________________
                   x³ + 3x² - x + 3
                  -x³ + 2x² - x
                  __________________
                         5x² - 2x + 3
   

6. Último paso: \(5x^2 ÷ x^2 = 5\) Cociente final: \(2x^2 + x + 5\) Multiplicar: \(5(x^2 - 2x + 1) = 5x^2 - 10x + 5\) Restar: \((5x^2 - 2x + 3) - (5x^2 - 10x + 5) = 8x - 2\)

             2x² + x + 5
             __________________________
   x²-2x+1 | 2x⁴ - 3x³ + 5x² - x + 3
             2x⁴ - 4x³ + 2x²
             __________________________
                   x³ + 3x² - x + 3
                  -x³ + 2x² - x
                  __________________
                         5x² - 2x + 3
                        -5x² + 10x - 5
                        ________________
                               8x - 2
   

7. Resultado: \(\deg(8x - 2) = 1 < \deg(x^2 - 2x + 1) = 2\)

\[ \frac{2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - x + 3}{x^2 - 2x + 1} = 2x^2 + x + 5 + \frac{8x - 2}{x^2 - 2x + 1} \]

3.3.3 División Sintética - Método Rápido

Condición: Divisor debe ser de la forma \((x - c)\)

Algoritmo Paso a Paso:

PASO 1: Extraer \(c\) del divisor \((x - c)\)

PASO 2: Escribir coeficientes de \(P(x)\) en orden descendente, incluyendo 0 para términos faltantes

PASO 3: Configurar tabla sintética

c | a_n  a_{n-1}  ...  a_1  a_0
  |
  -------------------------------

PASO 4: Bajar el primer coeficiente a la línea inferior

PASO 5: Multiplicar por \(c\) y sumar al siguiente coeficiente

PASO 6: Repetir hasta completar todos los coeficientes

PASO 7: Interpretar resultados: último número = residuo, otros = coeficientes del cociente

Ejemplo: \((3x^3 - 4x^2 + 2x - 5) ÷ (x - 2)\)

1. \(c = 2\)
2. Coeficientes: \([3, -4, 2, -5]\)
3. Tabla:

   2 | 3  -4   2  -5
     |
     ----------------
   

4. Proceso:
5. Bajar 3: 3
6. \(3 × 2 = 6\), sumar a -4: \(-4 + 6 = 2\)
7. \(2 × 2 = 4\), sumar a 2: \(2 + 4 = 6\)
8. \(6 × 2 = 12\), sumar a -5: \(-5 + 12 = 7\)
9. Resultado:

   2 | 3  -4   2  -5
     |    6   4  12
     ----------------
       3   2   6   7
   

   Cociente: \(3x^2 + 2x + 6\), Residuo: 7

3.3.4 Casos Especiales y Errores Comunes

Casos Especiales:

1. Divisor con coeficiente principal ≠ 1
2. Ej: Dividir entre \((2x - 3)\)
3. Opción A: Convertir a \(2(x - \frac{3}{2})\) y usar \(c = \frac{3}{2}\) en división sintética

4. Opción B: Hacer división larga normal

5. Divisor de la forma \((x + a)\)

6. Recordar: \((x + a) = (x - (-a))\) → \(c = -a\)

7. Términos faltantes en el dividendo

8. Siempre incluir coeficiente 0 para potencias faltantes

Errores Comunes y Soluciones:

1. Error: No alinear términos correctamente Solución: Usar papel cuadriculado o hacer columnas claras por grado

2. Error: Errores de signos en la resta Solución: Cambiar TODOS los signos del sustraendo y luego SUMAR

3. Error: Olvidar verificar el resultado Solución: Siempre verificar que \(D(x)Q(x) + R(x) = P(x)\)

4. Error: Confundir cuándo parar la división Solución: Parar cuando \(\deg(R) < \deg(D)\)

3.4 Raíces y Teoremas Fundamentales

3.4.1 Teoremas Esenciales

Teorema del Residuo

Si un polinomio \(P(x)\) se divide entre \((x - c)\), el residuo es \(P(c)\).

\[ P(x) = (x - c)Q(x) + P(c) \]

Aplicación: Para encontrar el residuo de \(P(x) ÷ (x - c)\), simplemente evaluar \(P(c)\).

Teorema del Factor

\((x - c)\) es factor de \(P(x)\) si y solo si \(P(c) = 0\).

Demostración: Del teorema del residuo, si \(P(c) = 0\), entonces \(P(x) = (x - c)Q(x)\).

Teorema Fundamental del Álgebra

Todo polinomio de grado \(n \geq 1\) con coeficientes complejos tiene exactamente \(n\) raíces en \(\mathbb{C}\), contando multiplicidades.

Consecuencias: 1. Polinomio de grado \(n\) puede factorizarse completamente en \(\mathbb{C}\) 2. Raíces complejas vienen en pares conjugados si coeficientes son reales

3.4.2 Raíces Complejas y Conjugadas

Teorema de las Raíces Complejas Conjugadas: Si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz compleja \(a + bi\) (con \(b \neq 0\)), entonces su conjugado \(a - bi\) también es raíz.

Implicaciones importantes: 1. Polinomios de grado impar con coeficientes reales tienen al menos una raíz real 2. Polinomios de grado par pueden tener todas sus raíces complejas (en pares conjugados) 3. En la factorización de polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas aparecen en factores cuadráticos irreducibles

Factorización con raíces complejas: Para un par de raíces conjugadas \(a \pm bi\), el factor cuadrático correspondiente es: $\((x - (a + bi))(x - (a - bi)) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)\)$

Ejemplo: Polinomio con raíces \(2 + i\) y \(2 - i\) (entre otras) - Factores cuadráticos: \((x - (2 + i))(x - (2 - i)) = x^2 - 4x + 5\)

3.4.3 Métodos para Encontrar Raíces

Método 1: Factorización Directa

Para polinomios factorizables por inspección.

Ejemplo: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Método 2: Fórmula Cuadrática

Para polinomios de grado 2: \(ax^2 + bx + c = 0\)

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\) - \(\Delta > 0\): 2 raíces reales distintas - \(\Delta = 0\): 1 raíz real doble (multiplicidad 2) - \(\Delta < 0\): 2 raíces complejas conjugadas

Ejemplo con raíces complejas: \(x^2 + 4x + 13 = 0\) - \(\Delta = 16 - 52 = -36\) - \(\sqrt{\Delta} = 6i\) - Soluciones: \(x = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i\)

Método 3: Teorema de Raíces Racionales

Para polinomio \(P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0\) con coeficientes enteros:

Posibles raíces racionales: \(\pm \frac{p}{q}\) donde \(p\) divide a \(a_0\) y \(q\) divide a \(a_n\).

Procedimiento: 1. Listar divisores de \(a_0\): \(\pm p_1, \pm p_2, \ldots\) 2. Listar divisores de \(a_n\): \(\pm q_1, \pm q_2, \ldots\) 3. Posibles raíces: \(\pm \frac{p_i}{q_j}\) 4. Probar cada posible raíz usando evaluación o división sintética

Método 4: División Sintética para Reducir Grado

Cuando se encuentra una raíz \(r\), dividir \(P(x)\) entre \((x - r)\) para obtener polinomio de grado menor.

Estrategia sistemática: 1. Usar teorema de raíces racionales para encontrar posibles raíces 2. Probar cada posible raíz con división sintética 3. Cuando se encuentra raíz (residuo 0), el cociente es polinomio reducido 4. Repetir con el polinomio reducido

Método 5: Completar el Cuadrado para Ecuaciones Cuadráticas

Alternativa a la fórmula cuadrática, útil para derivar la fórmula o para ciertos problemas.

Procedimiento: \(ax^2 + bx + c = 0\) 1. Dividir entre \(a\) si \(a \neq 1\): \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\) 2. Mover constante: \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\) 3. Completar cuadrado: \(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}\) 4. Factorizar: \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\) 5. Resolver: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

3.4.4 Comportamiento Gráfico de Raíces

La multiplicidad de una raíz afecta cómo la gráfica toca/cruza el eje X:

• Multiplicidad impar: La gráfica CRUZA el eje X
• Multiplicidad par: La gráfica TOCA pero NO CRUZA el eje X (rebota)

Para raíces complejas: No interceptan el eje X (la gráfica no toca el eje X en esos puntos)

3.4.5 Factorización Avanzada

Factorización por Agrupación (4 términos)

Procedimiento: 1. Agrupar en dos pares 2. Factorizar MFC de cada par 3. Si hay factor común binomial, factorizarlo

Ejemplo: \(ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)\)

Método AC para Trinomios Cuadráticos

Para \(ax^2 + bx + c\) con \(a \neq 1\):

1. Calcular \(a × c\)
2. Encontrar dos números \(m, n\) tales que:
3. \(m × n = a × c\)
4. \(m + n = b\)
5. Reescribir: \(ax^2 + mx + nx + c\)
6. Factorizar por agrupación

Ejemplo: \(6x^2 + 11x + 4\) - \(a × c = 6 × 4 = 24\) - \(m = 3, n = 8\) (porque \(3×8=24\), \(3+8=11\)) - \(6x^2 + 3x + 8x + 4 = 3x(2x + 1) + 4(2x + 1) = (2x + 1)(3x + 4)\)

Suma y Diferencia de Cubos

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Factorización por Sustitución

Para polinomios en forma cuadrática: \(a[u(x)]^2 + b[u(x)] + c\)

Ejemplo: \(x^4 - 5x^2 + 4\) Sea \(u = x^2\), entonces: \(u^2 - 5u + 4 = (u - 1)(u - 4) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\)

Factorización de Polinomios con Raíces Complejas

Para polinomios con coeficientes reales que tienen raíces complejas:

1. Encontrar todas las raíces (reales y complejas)
2. Agrupar raíces complejas en pares conjugados
3. Para cada par \(a \pm bi\), formar factor cuadrático: \(x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)\)
4. Multiplicar todos los factores lineales (de raíces reales) y cuadráticos (de raíces complejas)

Ejemplo: Polinomio con raíces \(1, 2, 3+i, 3-i\) - Factores: \((x-1)(x-2)(x^2 - 6x + 10)\) donde \(x^2 - 6x + 10\) viene de \((x-(3+i))(x-(3-i))\)

3.5 Fracciones Parciales

3.5.1 Concepto Fundamental

Objetivo: Expresar una función racional \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) como suma de fracciones más simples.

Condición inicial: \(\deg(P) < \deg(Q)\) (si no, hacer división primero)

3.5.2 Casos y Procedimientos

Caso 1: Factores Lineales Distintos

Si \(Q(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)\) con todos \(a_i\) distintos:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x - a_1} + \frac{A_2}{x - a_2} + \cdots + \frac{A_n}{x - a_n} \]

Procedimiento: 1. Plantear la descomposición 2. Multiplicar ambos lados por \(Q(x)\) 3. Sustituir valores estratégicos de \(x\) que anulen términos 4. Resolver para las constantes \(A_i\)

Ejemplo: \(\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}\) 1. Multiplicar: \(3x+5 = A(x+2) + B(x-1)\) 2. Para \(x=1\): \(8 = 3A \Rightarrow A = \frac{8}{3}\) 3. Para \(x=-2\): \(-1 = -3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\) 4. Resultado: \(\frac{8/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2}\)

Caso 2: Factores Lineales Repetidos

Si \(Q(x) = (x - a)^k\):

\[ \frac{P(x)}{(x-a)^k} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k} \]

Procedimiento: 1. Plantear con todos los términos 2. Multiplicar por \((x-a)^k\) 3. Sustituir \(x=a\) para encontrar \(A_k\) 4. Expandir y comparar coeficientes para otras constantes

Caso 3: Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos

Si \(Q(x)\) tiene factores cuadráticos irreducibles (discriminante negativo):

\[ \frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)} = \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} + \frac{Cx+D}{dx^2+ex+f} \]

Caso 4: Factores Cuadráticos Irreducibles Repetidos

Si \(Q(x) = (ax^2+bx+c)^k\):

\[ \frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)^k} = \frac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots + \frac{A_kx+B_k}{(ax^2+bx+c)^k} \]

3.5.3 Métodos para Encontrar Constantes

Método 1: Sustitución Estratégica

Elegir valores de \(x\) que anulen algunos términos.

Ejemplo: Para \(\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}\) - \(x=1\): anula término con \(B\) - \(x=2\): anula término con \(A\)

Método 2: Comparación de Coeficientes

1. Expandir el lado derecho
2. Agrupar términos por potencias de \(x\)
3. Igualar coeficientes con el lado izquierdo
4. Resolver el sistema de ecuaciones

3.6 Aplicaciones y Problemas Avanzados

3.6.1 Encontrar Polinomios con Condiciones Dadas

Problema tipo: Encontrar polinomio de grado 3 con raíces \(x = 1, 2, -3\) y que pase por \((0, 6)\).

Solución: 1. Forma general: \(P(x) = a(x-1)(x-2)(x+3)\) 2. Usar punto \((0, 6)\): \(6 = a(-1)(-2)(3) = 6a \Rightarrow a = 1\) 3. Resultado: \(P(x) = (x-1)(x-2)(x+3) = x^3 - 7x + 6\)

Problema con raíces complejas: Encontrar polinomio de grado 4 con coeficientes reales que tenga raíces \(2, -1, 1+i, 1-i\) y coeficiente principal 3.

Solución: 1. Factores: \((x-2)(x+1)(x-(1+i))(x-(1-i))\) 2. Multiplicar factores complejos: \((x-(1+i))(x-(1-i)) = x^2 - 2x + 2\) 3. Multiplicar todos: \((x-2)(x+1)(x^2-2x+2)\) 4. Expandir: \((x^2-x-2)(x^2-2x+2) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 2x - 4\) 5. Multiplicar por 3: \(3x^4 - 9x^3 + 6x^2 + 6x - 12\)

3.6.2 División por Polinomios de Grado Mayor que 1

Estrategia: Similar a división larga, pero más cuidado con la alineación.

Ejemplo: Dividir \(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5\) entre \(x^2 - x + 1\)

Proceso: 1. \(x^4 ÷ x^2 = x^2\) 2. Multiplicar: \(x^2(x^2 - x + 1) = x^4 - x^3 + x^2\) 3. Restar: \((-2x^3 + 3x^2) - (-x^3 + x^2) = -x^3 + 2x^2\) 4. Continuar: \(-x^3 ÷ x^2 = -x\), etc.

3.6.3 Polinomios Simétricos

Definición: Polinomio que permanece igual al permutar sus variables.

Relaciones de Vieta: Para polinomio \(x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0\) con raíces \(r_1, r_2, \ldots, r_n\): - Suma de raíces: \(r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -a_{n-1}\) - Suma de productos binarios: \(\sum_{i<j} r_i r_j = a_{n-2}\) - Producto de raíces: \(r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n a_0\)

3.6.4 Algoritmo de Horner para Evaluación de Polinomios

Objetivo: Evaluar \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0\) en \(x = c\) eficientemente.

Algoritmo: 1. Inicializar \(resultado = a_n\) 2. Para \(i\) desde \(n-1\) hasta 0: - \(resultado = resultado × c + a_i\) 3. \(resultado\) es \(P(c)\)

Ejemplo: Evaluar \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) en \(x = 2\) - \(b_3 = 2\) - \(b_2 = 2×2 - 3 = 1\) - \(b_1 = 1×2 + 4 = 6\) - \(b_0 = 6×2 - 5 = 7\) Resultado: \(P(2) = 7\)

3.7 Resumen y Estrategias para Exámenes

3.7.1 Fórmulas Esenciales

1. Teorema del Residuo: \(P(x) = (x-c)Q(x) + P(c)\)
2. Teorema del Factor: \((x-c)\) es factor ⇔ \(P(c) = 0\)
3. Fórmula cuadrática: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
4. Suma/diferencia de cubos:
5. \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)
6. \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\)
7. Factorización de raíces complejas conjugadas: \((x-(a+bi))(x-(a-bi)) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2)\)

3.7.2 Estrategias para Resolver Problemas

Para división:

1. Verificar \(\deg(P) ≥ \deg(D)\)
2. Incluir términos con coeficiente 0
3. Alinear por grado
4. Verificar: \(D(x)Q(x) + R(x) = P(x)\)

Para encontrar raíces:

1. Listar posibles raíces racionales usando el teorema correspondiente
2. Probar con división sintética
3. Si el polinomio es cuadrático, usar fórmula cuadrática
4. Si se encuentran raíces complejas, recordar que su conjugado también es raíz
5. Reducir grado al encontrar raíz
6. Considerar multiplicidades

Para factorización con raíces complejas:

1. Encontrar todas las raíces (reales y complejas)
2. Agrupar raíces complejas en pares conjugados
3. Para cada par, formar factor cuadrático irreducible
4. Multiplicar todos los factores lineales (de raíces reales) y cuadráticos (de raíces complejas)

Para fracciones parciales:

1. Verificar \(\deg(P) < \deg(Q)\)
2. Factorizar completamente \(Q(x)\)
3. Plantear forma según tipo de factores
4. Usar sustitución estratégica o comparación de coeficientes

3.7.3 Preguntas Frecuentes en Exámenes

1. ¿Cómo saber si un polinomio tiene raíces complejas?
2. Si el discriminante es negativo (grado 2)
3. Si tiene grado impar y todas las raíces racionales han sido probadas sin éxito

4. Si al graficar, no intercepta el eje X en suficientes puntos

5. ¿Qué hacer cuando el polinomio tiene coeficientes no enteros?

6. Multiplicar por denominador común para obtener coeficientes enteros

7. Aplicar teorema de raíces racionales a la nueva forma

8. ¿Cómo factorizar polinomios de grado superior a 2?

9. Buscar raíces racionales primero
10. Usar división sintética para reducir grado

11. Repetir hasta obtener factores lineales o cuadráticos

12. ¿Cuándo usar fórmula cuadrática vs completar el cuadrado?

13. Fórmula cuadrática: para obtener soluciones directamente
14. Completar cuadrado: para derivar fórmula, o para expresar en forma vértice

3.7.4 Consejos para el Examen

1. Verifica siempre tus respuestas:
2. Multiplica los factores para ver si obtienes el polinomio original
3. Evalúa el polinomio en las raíces encontradas (debe dar 0)

4. Comprueba que el grado del residuo sea menor que el del divisor

5. Manejo de raíces complejas:

6. Recuerda que \(i^2 = -1\)
7. Simplifica expresiones con números complejos

8. Verifica que los factores cuadráticos de raíces complejas tengan discriminante negativo

9. Organización:

10. Usa papel cuadriculado para mantener columnas alineadas
11. Anota cada paso claramente

12. Mantén un registro de las raíces encontradas

13. Tiempo:

14. Empieza por los problemas más simples
15. Si te atoras en un problema, pasa al siguiente y regresa después
16. Revisa todos los cálculos, especialmente signos y exponentes

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Consejo final: Practica con polinomios de distintos grados y tipos, especialmente aquellos que combinan raíces reales y complejas. La familiaridad con los patrones de factorización y las técnicas de división te ayudará a resolver problemas más rápidamente en el examen.