Saltar a contenido

NÚMEROS COMPLEJOS

FORMAS

Binómica: \(z = a + bi\) donde \(a,b \in \mathbb{R}\), \(i^2 = -1\)
Polar: \(z = r(\cos\theta + i \sin\theta) = r \operatorname{cis} \theta\)
Exponencial: \(z = r e^{i\theta}\) donde \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)

MÓDULO Y ARGUMENTO

Módulo: \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0\)
Argumento: \(\arg(z) = \theta\) tal que \(\tan\theta = \frac{b}{a}\) (con ajuste por cuadrante)

Cada \(z \neq 0\) tiene infinitos argumentos: \(\theta + 2k\pi\) con \(k \in \mathbb{Z}\)
Para unicidad, elegimos un argumento principal en:
- \((-\pi, \pi]\) (estándar, usado por atan2)
- \([0, 2\pi)\) (alternativo)

CÁLCULO DE \(\theta\) DESDE \(z = a+bi\)

Valores estándar de \(\arctan(x)\) (para memorizar)

\(\arctan(0) = 0\)
\(\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236\) (30°)
\(\arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854\) (45°)
\(\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472\) (60°)
\(\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}\) (90°)

Para valores negativos: \(\arctan(-x) = -\arctan(x)\)
Para valores no estándar: dejar como \(\arctan(x)\) (ej: \(\arctan(2)\))

Fórmulas por cuadrante (para \((-\pi, \pi]\))

  1. Cuadrante I (\(a>0, b>0\)): \(\theta = \arctan(b/a)\)
    Ejemplo: \(z=1+i \Rightarrow \theta = \arctan(1) = \pi/4\)

  2. Cuadrante II (\(a<0, b>0\)): \(\theta = \arctan(b/a) + \pi\)
    Ejemplo: \(z=-1+i \Rightarrow \arctan(-1) = -\pi/4 \Rightarrow \theta = -\pi/4 + \pi = 3\pi/4\)

  3. Cuadrante III (\(a<0, b<0\)): \(\theta = \arctan(b/a) - \pi\)
    Ejemplo: \(z=-1-i \Rightarrow \arctan(1) = \pi/4 \Rightarrow \theta = \pi/4 - \pi = -3\pi/4\)

  4. Cuadrante IV (\(a>0, b<0\)): \(\theta = \arctan(b/a)\)
    Ejemplo: \(z=1-i \Rightarrow \theta = \arctan(-1) = -\pi/4\)

  5. Casos especiales:

  6. \(a>0, b=0\): \(\theta = 0\)
  7. \(a=0, b>0\): \(\theta = \pi/2\)
  8. \(a<0, b=0\): \(\theta = \pi\)
  9. \(a=0, b<0\): \(\theta = -\pi/2\)

Justificación: La función \(\arctan\) solo devuelve valores en \((-\pi/2, \pi/2)\) (cuadrantes I y IV). Para puntos en cuadrantes II y III (\(a<0\)), el ángulo correcto difiere en \(\pi\) radianes.

OPERACIONES EN FORMA POLAR

Multiplicación: \((r_1 \operatorname{cis} \theta_1)(r_2 \operatorname{cis} \theta_2) = r_1 r_2 \operatorname{cis}(\theta_1 + \theta_2)\)
División: \(\dfrac{r_1 \operatorname{cis} \theta_1}{r_2 \operatorname{cis} \theta_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \operatorname{cis}(\theta_1 - \theta_2)\)
Potencia (De Moivre): \((r \operatorname{cis} \theta)^n = r^n \operatorname{cis}(n\theta)\)
Raíz n-ésima: \(\sqrt[n]{r \operatorname{cis} \theta} = \sqrt[n]{r} \operatorname{cis}\left(\dfrac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\) para \(k=0,1,\dots,n-1\)

AJUSTE DEL ARGUMENTO

Dos tipos de ajuste:

  1. Ajuste por cuadrante (\(\pm \pi\)): Solo al calcular \(\theta\) desde \(a+bi\) cuando \(a<0\).
  2. Ajuste al rango (\(\pm 2\pi\)): Después de operaciones, si \(\theta\) no está en \((-\pi, \pi]\).

Método de ajuste a \((-\pi, \pi]\):

  • Si \(\theta > \pi\), resta \(2\pi\) hasta que \(\theta \leq \pi\)
  • Si \(\theta \leq -\pi\), suma \(2\pi\) hasta que \(\theta > -\pi\)

Cuándo usar cada ajuste:

  • Al convertir \(a+bi\) a polar: Ajuste por cuadrante (\(\pm \pi\) si \(a<0\))
  • Después de multiplicación/división: Calcular \(\theta = \theta_1 \pm \theta_2\), luego ajuste al rango (\(\pm 2\pi\)) si es necesario
  • Después de potencias: Calcular \(\theta = n \cdot \theta\), luego ajuste al rango (\(\pm 2\pi\)) si es necesario
  • Si te dan un ángulo grande: Ajuste al rango (\(\pm 2\pi\)) hasta que esté en \((-\pi, \pi]\)

EJEMPLOS

Ejemplo 1: Convertir \(z = -2-2i\) a forma polar

  1. \(r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
  2. \(a<0, b<0\) → Cuadrante III → \(\theta = \arctan\left(\frac{-2}{-2}\right) - \pi = \arctan(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\)
  3. \(-\frac{3\pi}{4} \in (-\pi, \pi]\) ✓
  4. \(z = 2\sqrt{2} \operatorname{cis}(-\frac{3\pi}{4})\)

Ejemplo 2: Calcular \((1+i)^6\)

  1. \(1+i = \sqrt{2} \operatorname{cis}(\frac{\pi}{4})\)
  2. \((\sqrt{2})^6 = 8\), \(6 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}\)
  3. \(\frac{3\pi}{2} > \pi\) → ajustar: \(\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}\)
  4. \((1+i)^6 = 8 \operatorname{cis}(-\frac{\pi}{2}) = -8i\)

Ejemplo 3: Multiplicación \(e^{i5\pi/4} \cdot e^{i3\pi/4}\)

  1. \(\theta = \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi\)
  2. \(2\pi > \pi\) → ajustar: \(2\pi - 2\pi = 0\)
  3. Resultado: \(\theta = 0\)

RESUMEN PARA EL EXAMEN

  1. Cálculo de \(\theta\) desde \(a+bi\):
  2. Si \(a>0\): \(\theta = \arctan(b/a)\)
  3. Si \(a<0, b>0\): \(\theta = \arctan(b/a) + \pi\)

  4. Si \(a<0, b<0\): \(\theta = \arctan(b/a) - \pi\)

  5. Después de operaciones:

  6. Si \(\theta > \pi\) → resta \(2\pi\)

  7. Si \(\theta \leq -\pi\) → suma \(2\pi\)

  8. Diferenciar ajustes:

  9. \(\pm\pi\): solo al calcular \(\theta\) desde \(a+bi\) (ajuste por cuadrante)

  10. \(\pm2\pi\): después de operaciones (ajuste al rango)

  11. Valores comunes para memorizar: \(\arctan(0)=0\), \(\arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6\), \(\arctan(1)=\pi/4\), \(\arctan(\sqrt{3})=\pi/3\)

Mnemotécnico: "\(\pi\) para el cuadrante, \(2\pi\) para el rango"

INFORMACIÓN ADICIONAL ESTÁNDAR

Fórmula de Euler: \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)
Conjugado en polar: \(\overline{r \operatorname{cis} \theta} = r \operatorname{cis}(-\theta)\)
Inverso en polar: \((r \operatorname{cis} \theta)^{-1} = \frac{1}{r} \operatorname{cis}(-\theta)\)
Módulo de un producto: \(|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
Argumento de un producto: \(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\) (módulo \(2\pi\))